牛吃草
扬州育才实验学校 王小杰
同学们，欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。今天我们认识的是英国著名的物理学家牛顿。他在23岁时受苹果落地的启发，发现了万有引力定律。他总结出的牛顿三大定律，为力学奠定了坚实的基础。
识名人：
他在数学方面也取得非常卓越的成就。他提出“流数法”，建立了二项式定理，并和莱布尼茨几乎同时创立了微积分学，为数学的发展开辟了新纪元。
名人故事：
今天老师带来了他的数学著作《普通算术》一书中，记载的一道关于牛在牧场上吃草的名题。
即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断地、均匀地生长，后人把这类问题称为“牛吃草问题”或叫做”牛顿问题”。这个问题简单地说是这样的：
牧场上有一片青草，每天的生长速度一样快。这片青草供10头牛吃，可以吃20天，或者供15头牛吃，可以吃10天。如果供25头牛吃，可以吃几天?
解名题：
为了更加清楚地理解题意，我们可以列表整理题目中的条件和问题。
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数量 |
时间 |
总草量 |
|
10头 |
20天 |
原有草量＋20天生长草量 |
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15头 |
10天 |
原有草量＋10天生长草量 |
|
25头 |
？天 |
原有草量＋？天生长草量 |
观察表格，可以发现要想知道25头牛可以吃几天，就必须知道原有草量和每天生长草量，然而题目中并没有告诉我们这样的条件。如果我们假设1头牛1天的吃草量，就可以根据这两个条件求出原有草量和每天生长草量。草量用千克、吨等计量单位当然很合适，但在这道题目里显然行不通。所以，为了便于解决此类问题，可以把1头牛1天的吃草量假设作一份。
那么10头牛20天可以吃10×20＝200（份）草，15头牛10天可以吃15×10＝150（份）草。有同学可能会奇怪了，同样都是把草吃完，为什么吃草的总量不一样啊？
我们可以把条件转化为线段图，更直观地去观察。你明白为什么吗？
从图中我们可以看出,第一次是10头牛吃了20天,草也长了20天；第二次是15头牛吃了10天,草只长了10天。正因为草多长了20-10= 10(天)，其总量相差了200－150=50(份)，也就是说,这10天里，草生长了50份,这样就不难知道草每天生长了50÷10=5(份)。
知道了每天新长的草量，接下来就可以求出这块草地原有的草量。在第一种情况中，用10头牛20天吃的总草量减去20天生长的草量就是这块地原有的草量，是200－5×20＝100（份）。还可以这样求：150－5×10＝100（份）。也就是第二种情况中，用15头牛10天吃的总草量减去10天生长的草量。
理清上面的思路，就可以解决要求的问题了。
因为草每天生长5份，相当于让5头牛专吃这些新生长的草,不管是几天,生长的草量就让5头牛去吃。
那么剩下的20头牛就去吃草地原来的草，等原来的草吃完了，问题也解决了:100÷(25-5)=5 (天)。
可以验证一下:
草地总草量为:100+5×5= 125(份)。
牛吃掉的草量为:25×5= 125(份)。
到这里，关于“牛吃草”的问题就解决了。
长智慧：
类似“牛吃草”这一类问题往往都非常复杂，理解题目的意思都比较困难。所以我们可以运用列表的策略，将题中的条件和问题一一对应起来。
还可以运用画图的策略，帮助我们分析数量关系，因为数形结合能使数量之间的内在联系变得更加比较直观。
当然，解决牛吃草问题还离不开假设的策略，只有先假设每头牛每天吃掉的草量为“1”，才能接着通过对题中条件的分析比较，求出原有的草量和单位时间生长的草量。
显身手：
同学们，在现实生活中，常常可以碰到类似“牛吃草”的问题，你能运用这些策略解决下面这个问题吗？
有一个大水池的池底出现了一个窟窿，发生漏水现象，每分钟从窟窿里流掉一定量的水，需要马上修补。如果用5台水泵，5小时就能抽干水池里的水:如果用10台水泵，3小时就能抽干。现在需要1小时抽干水池的水，需要多少台水泵?
同学们，看完题目，你发现这个问题与前面“牛吃草”问题的区别在哪里?前面讲的草每天都在长出来，可现在的水每分钟都在漏。根据牛吃草的解题思路，“原有的水量"相当于“原有的草”，“水泵的台数”相当于“牛的头数”。
先列表或者画图整理条件和问题。
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台数 |
时间 |
总抽水量 |
|
5台 |
5时 |
原有水量－5小时漏出水量 |
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10台 |
3时 |
原有水量－3小时漏出水量 |
|
？台 |
1时 |
原有水量－1小时漏出水量 |
通过比较总排水量，可以发现5台水泵5小时抽的总水量比10台水泵3小时抽的总水量少的部分，是2小时漏出的水量。假设1台水泵1小时抽水量上1份，可以先求出每小时漏出的水量是：（10×3－5×5）÷（5－3）＝2.5（份）。
然后用总抽水量加上漏出水量求出原有水量是：5×5＋2.5×5＝37.5（份）或10×3＋2.5×3＝37.5（份）。
最后就可以求出1小时抽干需要的台数是：（27.5－2.5）÷1＝35（台）
同学们，在生活中，像这样的问题还有很多。在解决这类问题时，要善于运用我们学过的解决问题的策略，通过总量的对比分析，找出单位时间生长的草量和原有的草量这两个不变的量，最后来解决所要求的问题。
关于“牛顿的牛吃草问题”我就介绍到这里，同学们再见！
《牛吃草》课件
扬州育才实验学校 王小杰
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