欧拉与“七桥问题”
扬州育才实验学校 周萍
同学们，欢迎走进《名人名题长智慧》微课程。今天由周老师给大家介绍“欧拉与“七桥问题””的故事。
识名人：
欧拉(1707 -1783)，18世纪数学界最杰出的人物之一,也是中国人最熟悉的数学家之一。欧拉在数学上的建树很多，欧拉对数学历史，特别是对数学思想有十分重要的影响。19世纪伟大数学家高斯(Gauss, 1777 - 1855 年)曾说:“ 研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”今天与大家介绍的是欧拉1736年访问哥尼斯堡时解决的一道著名的数学难题。
名人故事：
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右图）。城中的居民经常沿河过桥散步，不知是哪一位居民在散步时提出了一个问题:能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？这个问题很快在当地传开了，每一位到这里来散步的人们都想走一走，看是不是能走通，结果没有一个人成功。于是，有人写了一封信给当时最伟大的数学家欧拉，并附上（右图）一张图纸，让他来揭示这里面的奥秘。经过研究、论证，欧拉断定：要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能的。
解名题：
同学们，你一定想知道欧拉是怎么解决这个问题的吧？欧拉经过观察和思考, 他首先考虑到“列举法”，于是他算了一下，一共有7×6×5×4×3×2×1=5040(种)不同的走法。要把每一种情况都走一遍，是很大的一个工程，而且就算都试过了，也只能说能与不能,不知道其中的原因，如果要解决类似的问题时，只能再试。这不是一个数学家解决问题的方法，数学家应该从一个问题的解决过程中，发现这一类问题的规律，找到规律或原理就可以举一反三了。因此，他放弃了这种方法。后来他改变了思考的角度,发现七桥问题仅仅涉及物体的位置关系，而与路程无关。于是，欧拉继续把草图进一步进行抽象，把陆地用点来表示,把桥用线来表示：用A、C 代表岛区,B、D分别代表北区和南区,并用曲线弧或直线段表示七座桥，于是得到了右图这个简单的图形。同时把原来的问题相应地转化成了：能否从某一个点出发,不重复地一笔画出这个图形?
我们知道，从某一个点出发最后又回到这一点, 经过这一点的线的条数一定是偶数；中间每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那点画出来的一条线。这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。根据这个道理，我们可以看到上图中, 经过A点的线有五条，经过B、C、D三点的线都是三条，经过每一个点的线的条数都是单数，没有一个是偶数,从而说明，无论从哪点出发，这个图都不能够一笔画出，也就是要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能的。欧拉就这样巧妙地解决了这一困扰人们多年但又十分有趣的问题。
长智慧：
欧拉的“七桥问题”揭示的规律，在小学中称之为“一笔画问题”，就是判断一幅有许多线段相互连接而形成的图形能否从某一个交点起笔不离开纸面并一笔画完。解决这类题具体思考步骤如下：
步骤1.把线与线的交点进行分类；
a.如果从一个交点出发的线的条数为偶数，这个交点称为偶点。
b.如果从一个交点出发的线的条数为奇数，这个交点称为奇点。
步骤2.根据图形中偶点个数和奇点个数进行判断；
a.只有两个奇点的图形(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
b.由偶点组成的图形，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
c.奇点数超过两个的图形,不能一笔画成。
即在面对这类问题时，应该运用抽象分析法与拓扑思维法来考虑问题的结果。当问题中有很多干扰因素时,需要对问题进行抽象分析，先排除非本质因素，尽量把问题简化，抓住问题的要点，再运用拓扑思维法（只考虑图形中顶点和边线的条数而不考虑其大小和形状的思考方式），从而获得解决问题的途径。
显身手：
接下来我们一起尝试用抽象分析法与拓扑思维法解决一些问题吧：
1.先数出每幅图的奇点个数与偶点个数，用上面归纳出的规律做出判断，可以一笔画完的在括号里画“√”，不可以一笔画完的画“×”，再动手画一画，验证假设是否成立。
（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）
首先，找出图中所有的交点（ppt中交点闪一闪），然后找出其中的奇点和偶点（ppt中标出每幅图中每个交点是奇点还是偶点并显示从这个交点出发的线段），最后数一数图形中奇点和偶点的个数进行判断。图1中奇点个数为8个，偶点个数为0个，所以不能一笔画完。图2中奇点个数为4个，偶点个数为2个，所以不能一笔画完。图3中奇点个数为4个，偶点个数为2个，所以不能一笔画完。图4中奇点个数为0个，偶点个数为8个，所以能一笔画完。图5中奇点个数为0个，偶点个数为5个，所以能一笔画完。
同学们，让我们一起再来看看刚才的一笔画问题的判断步骤。同学们，有没有发现偶点的个数与结果的判定是没有关系的，我们只要关注奇点的个数，而且有且仅有0或2个“奇点”的图形才可以一笔画完。这样的思考与提炼是不是让我们更智慧了一些呢！
2.用剪刀能否一次连续剪下如下图所示的纸片上的三个正方形和两个三角形?若能,怎么剪?
首先，找出图中所有的交点（ppt中交点闪一闪），然后找出其中的奇点和偶点（ppt中标出每幅图中每个交点是奇点还是偶点并显示从这个交点出发的线段），最后数一数图形中奇点和偶点的个数进行判断。图中奇点个数为2个，偶点个数为7个，所以能一次连续剪下。剪时从其中一个奇点H出发，经过A→G→B→E→C→F→E→O→H→D→F→0→G，G点正好是第二个奇数。
你知道吗？
同学们，关于欧拉的数学的故事还有很多,其中《智改羊圈》也很有趣哦！欧拉家的羊群有100只羊，原来的羊圈小了，父亲决定建造一个新的羊圈。他量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，平均每头羊占地6平方米。父亲发现他的材料只够围100米的篱笆。父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。欧拉却向父亲说他有办法，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。想知道他是怎么解决的吗？课后可以试一试哦！
关于欧拉与“七桥问题”的数学故事我就介绍到这里，同学们再见！
《欧拉与“七桥问题”》课件
扬州育才实验学校 周萍
注：请您点击标题后直接打开文档或者将文档另存为本地文件后再打开。
视频播放地址：http://zy.gljsfz.com:8402/video.html#/?videoId=6d4681c8-9922-4d9b-8a02-e56fa8a8829c&flag=0&_k=og0z4v
