数学基础教育：三个馒头，还是三明治？

智慧数学研究所   陈士文

本文缘起一则趣闻。

某年某月某日，某地。

中国数学教育家顾泠沅遇见美国卡耐基基金会主席舒尔曼，他们谈起了数学教育。

顾泠沅说，我们中国有个寓言：有一个和尚吃馒头，吃了第一个馒头没有饱，又吃第二个，第二个吃下去还不饱，接着吃第三个，这时吃饱了。于是和尚发表议论，说早知道第三个馒头能吃饱，何必要吃第一个、第二个馒头呢。

舒尔曼说，在我们美国，有一个教育家叫加涅，加涅也认为教学好似三个馒头，第一个是概念；第二个是概念与概念之间的连接，即原理；第三个是解决问题的策略。

舒尔曼还说，美国人吃三明治，三明治是可以夹起来吃的，不同的年龄有不同的夹法，讲究其营养。

……

趣闻引发了我关于教育、关于基础、关于数学的思考：

一、何为教育？

教育有广义和狭义之分，在教育学界，关于“教育”的定义多种多样，可谓仁者见仁、智者见智。

“大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善。”（孔子语）

“教育是帮助被教育的人给他能发展自己的能力，完成他的人格，于人类文化上能尽一分子的责任，不是把被教育的人造成一种特别器具。”（蔡元培语）

“教育是依据生活、为了生活的生活教育，培养有行动能力、思考能力和创造力的人。”（陶行知语）

……

关于教育的话题，除了引经据典，还可以追古溯源，还可以畅想规划，限于篇幅，我只是直接去想想教育的本质。

教育的本质有五种之说，即：上层建筑说；生产力说；特殊范畴说；多重属性说；意识替代说。

一时半会，我是说不清楚教育的本质是什么了，那转个角度看看教育是干什么的？我试着从教育的功能来理解教育。

教育的功能大致可分为个体发展功能与社会发展功能。教育最首要的功能是促进个体发展，包括个体的社会化和个性化。

既如是，那教育乃是奠定“学生发展”与“人格成长”的基础。

二、何为基础？

基础指建筑底部与地基接触的承重构件，它的作用是把建筑上部的荷载传给地基。

这可能是基础的本意，留意工程建设时发现：

“基础”是慢的，打桩、排水、灌浆……“基础”施工未曾见过一周一层楼的速度。

“基础”是宽厚的，“基础”的长宽远远超过地面建筑物的长与宽，而“基础”的厚度也决定了建筑物的高度。

“基础”是不装潢的，它深埋于地下，朴素坚韧，从不追求外在的富丽堂皇。

有俗语：基础不牢，地动山摇；基础不平，房倒屋倾。在语言的发展过程中，“基础”引申意为事物发展的根本或起点。

难道事物发展的根本或起点也需要“慢”、也需要“宽厚”、也是“不装潢”吗？

既有“基础教育”一词，难道这些和教育有关吗？

三、何为基础教育？

基础教育，狭义讲是指九年义务教育，而九年义务教育是国家的法律规定。

显然，基础教育是国家法律意志，必须接受，但接受的不仅仅是冷冰冰的条文规定。

基础教育是一种享受的教育，它是免费的，表面上免去的是经济支出，实质真正享受的应该是也必须是精神的平等。

基础教育是人生的起点，它需要“慢的”、“宽厚的”基础，这基础对于每一个最年轻的公民（小孩）来讲，应该是均衡的。

基础教育面对的是蒙童，此时受教育的个体差异是不显著的，不必有精英教育和大众教育之分。

四、数学基础教育，是吃馒头，还是吃三明治？

回到文章开头的趣闻

数学基础教育是小学数学教师面临的现实性话题，教育家顾泠沅和加涅借用寓言和譬喻来表述，把学术性问题通俗化了，显得轻巧有趣，给人们以启示。

启示一：数学基础教育，要慢慢来，三个馒头一个一个地吃，只吃第三个馒头是不行的，基础教育的过程不可短斤少两，不可急功近利。

启示二：数学基础教育，要讲次序，第一个馒头是概念，第二个馒头是原理，第三个馒头是策略，基础教育的内容不可颠三倒四，不可随意组合。

启示三：数学基础教育，要注重改造，三明治是可以夹起来吃，讲究其营养，基础教育的方式不可照本（学术形态的数学）宣科，不可脱离儿童。

当然，任何比喻都是有缺陷的。

三个馒头仅仅是数量的叠加吗？知识概念、关系原理、解决问题三者之间不是割裂的。三个馒头有其基本的共同的营养，还应有各自的营养素。同样是馒头，可以是小麦馒头、荞麦馒头、燕麦馒头，抑或除了馒头，还有烧卖、包子、油糕等。

关于东西方的数学教育，我们不能停留在故事譬喻上，不是简单的三个馒头的巧合，也不是三明治品种的变化，改造数学绝不是做馒头、三明治那么简单。一段趣闻无法承载我们对数学教育的理论思考，应该有更为深刻的阐述，我看到史宁中先生在《关于数学的反思》一文中有这样一段话：

一个赞美神明，偏爱抽象、辩论及逻辑；一个崇尚自然，依赖经验、实用及运筹。毫无疑问，这些都深刻地影响了数学的产生和发展。我们已经论及到，无论是古希腊之路，还是古中国之路，都不可能引导数学走得很远。因为一个缺乏外部世界实践的活力，一个需要内部世界逻辑的动力。

古代中国人善于讲故事、作譬喻，如寓言故事：守株待兔、掩耳盗铃，但缺少抽象的概念和定义。相应的西方哲学则较早的抽象出教条主义、主观主义的概念，并在思辨中建立学派理论。尽管中国还有“刻舟求剑”“郑人买履”“疑邻窃斧”“罚人吃肉”等类似的故事笑话，但仍停留在朴素的自然阶段。

至于此，关于数学基础教育，绝不是三个馒头和三明治的故事譬喻所能阐释的，数学基础教育呼唤相应的数学教育理论。

学术形态的数学，实用主义的数学，他们都不是数学基础教育的主体与目的，数学基础教育需要对学术化的数学进行改造。

教育数学的理论因而滋生了。