五年级“确定位置”三思

智慧数学研究所   陈士文

关于五年级“确定位置”的教学，我仔细看过同行的教学视频，认真读过同行的教学实录。感受是：叹服！叹服！还是叹服！

叹服：“行”“列”数学概念建立的巧妙；叹服：“数对”创写中对学生的激发；叹服：“数”“形”结合思想的渗透感悟。

作为一名同行，不能除了叹服还是叹服，我的思考呢？

一思、除了建立“行”“列”数学概念，还可以借助“横”“竖”的生活经验吗？

“行”“列”确实是学习“数对”时的辅助概念。首先是表达上的需要，因为要说清楚位置在第几行第几列。其次是建构“数对”概念的需要，数对的文字通式是（列，行）。

但实践中也遇到困扰：

一是生活语言表述顺序是“行”“列”，“行”在前，“列”在后，而数对中却是“列”在前，“行”在后。学生一时不习惯。

二是“列”沿y轴竖着往右数，“行”沿x轴横着往上数，这与将来在坐标系中找 “点”的方式（先横轴后竖轴）不一致。

三是现在二维平面有“行”“列”的辅助概念，将来学习到z轴的时候，并没有与之相随的名词。“行”“列”只是昙花一现。（行列式又当别论）

面对困扰，可以借用“横”“竖”的概念。好处有三：不出现“行”“列”，概念系统简化；“横”“竖”学生熟悉，且习惯上“横”就是从左往右；“横”“竖”与将来的x轴、y轴相对应，即数对中的（横，竖）对应（x，y）。

鉴于以上思考，在教学“确定位置”时，可以借助“横”“竖”经验，规避“行”“列”困扰，直至“数对”在坐标系中的形态。

二思、除了着力“数对”的创写，还可以有意“数轴”的建构吗？

关于数对创写，我发现学生的答案不外乎（横4，竖3）、（→4，↑3）、（4，3）几种，学生探索创写数对的意义和空间非常有限。对于同一个点，学生可能出现（4，3）、（3，4）两个不同的答案，这是因为生活中位置的确定就有先竖后横的。例如，住户编号302，就是指楼房的第三层第二户。

面对上述状况，可以有意数轴的建构。一维空间中，依据“从左到右的方向规定及数数”确定位置，这其中“从左到右的方向规定及数数”就是数轴。同样的道理，依据“从下往上的方向规定及数数”确定位置，这其中“从下往上的方向规定及数数”也是数轴。学生在学习数对之前，已经认识数轴，在此可以有意建构横竖两条数轴（x轴、y轴），并将其整合。

当出现（4，3）、（3，4）两个不同的答案时，需要引出一个规定，即数对中两个数的顺序是“先横后竖”。这是在横竖两条数轴整合的基础上，建构坐标系的规则。

至此，课堂上激发的不仅仅是学生创写的激情，更有从生活中的位置到数轴的逐步抽象与理性提升。

三思、除了感悟“数”与“形”的结合，还可以探索“二维”到“三维”的空间吗？

在教学用数对确定位置时，教师们常常讲述笛卡尔的故事：

有一天，笛卡尔生病了，躺在床上还在思考一个问题：用什么办法才能把“点”和“数”联系起来呢？

笛卡尔凝神望着天花板，他看见屋顶角上有一只蜘蛛，蜘蛛一会儿拉着丝垂下来，一会儿又顺着丝爬上去……上、下、左、右地吐丝。如果把蜘蛛看作一个点，它在网上来回移动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？

蜘蛛的“表演”使笛卡尔豁然开朗：平面上的一个点可以用一组数来表示。

笛卡尔是个勤于思考的人，他创立了坐标系。

故事呈现后，教师们往往有这样的话语：笛卡尔的思考，使数与形结合了。今天学习的数对，是用“数”来表示“点”。

我觉得此处感悟数形结合有点牵强，因为“点”还不是小学生心中的“形”。对于确定位置，可以找到另一个智慧的增长点，即引领学生从二维空间到三维空间的探索。示例如下：

公园大门外的报亭可以用数对表示吗？